テイラーの定理

テイラーの定理（テイラーのていり、英: Taylor's theorem）とは、微分積分学における定理の1つで、関数をある1点における高階の微分係数を用いて近似するものである。イギリスの数学者ブルック・テイラーによって1712年に述べられたためにこの名称がある。正確に述べると、次のようになる。

関数 f が閉区間 [a, x] で n 回連続微分可能であるとき、

$ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^{k} + R_n(x) $

$ R_n(x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x-a)^n $

を満たす c が開区間 (a, x) 内に存在する。ここで、R_n は剰余項（じょうよこう、residue）と呼ばれる。

R_n の大きさを評価することで、近似がどれだけ正確であるかが分かる。f が無限回微分可能であり、R_n が0に収束する場合、すなわち

$ \lim_{n \to \infty}R_n(x) = 0 $

である場合、f(x) はテイラー展開が可能である。そのとき f は解析的(analytic)であるといわれる。

テイラーの定理は平均値の定理を一般化したものになっている。実際、上の式において n = 1 としたもの、つまり

$ f(x) = f(a) + f'(c)(x-a) $

は平均値の定理に他ならない。また、テイラーの定理の証明には平均値の定理が用いられる。剰余項を積分表示したもの(ベルヌーイの剰余)を証明するには微分積分学の基本定理を用いる。

剰余項

剰余項 R_n はいくつかの形で表すことができ、場合に応じて使い分けられる。

ベルヌーイの剰余

$ R_n(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x f^{(n)}(t) (x-t)^{n-1}\,dt $

ロッシュ-シュレミルヒの剰余

$ (0<p \le n) $ となる任意の実数pについて、

$ R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{(n-1)! p} (1-\theta)^{n-p} (x-a)^{n} $

を満たすようなθが開区間 (0, 1) 内に存在する。

ロッシュ-シュレミルヒの剰余において、p = 1とすれば、コーシーの剰余

$ R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{(n-1)!} (1-\theta)^{n-1} (x-a)^{n} $

が得られる。またp = nとすれば、ラグランジュの剰余

$ R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!} (x-a)^{n} $

が得られる。

証明

$ f(x) $をn回微分可能な関数とし、

$ F(x)=f(x)-\sum_{n=0}^{n-1}\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n $

と定義する。

ここで、一般化された平均値の定理により、

$ \frac{F(x)}{(x-a)^n}=\frac{F(x)-F(a)}{(x-a)^n-(a-a)^n}=\frac{F'(c)}{n(c-a)^{n-1}} $

となるcが(a,x)の間に存在する。さらに、同様にして、

$ \frac{F(x)}{(x-a)^n}=\frac{F^{(k)}(c_k)}{{}_nP_k(c_k-a)^{n-k}} $

となるc_k(0<k<n)が存在すれば、

$ \frac{F(x)}{(x-a)^n}=\frac{F^{(k)}(c_k)-F^{(k)}(a)}{{}_nP_k((c_k-a)^{n-k}-(a-a)^{n-k})}=\frac{F^{(k-1)}(c_{k+1})}{{}_nP_{k+1}(c_{k+1}-a)^{n-k-1}} $

が成立する。これより、帰納的に、

$ \frac{F(x)}{(x-a)^n}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!} $

が成立し、

$ F(x)=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}(x-a)^n $

$ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^{k} + {f^{(n)}(c) \over n!} (x-a)^n $

となる$ c_n $が$ a<c_n<c_{n-1} $の範囲、より広く$ a<c_n<x $の範囲に存在する。

参考文献　

• ハイラー, E.、ヴァンナー, G. 『解析教程』下、蟹江幸博訳、丸善出版、2012年。ISBN 978-4-621-06190-9。