Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen

Aufgabe

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

B: Wie tief ist der Brunnen.

C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

Lösung

A: Vorgangsbeschreibung

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

#fz

B: Berechnung der Brunnentiefe

Formel für den freien Fall

h = ½ × g × t²_fall <1>

Formel für den Schall

h = V_schall × t_schall <2>

Weiter gilt:

t_schall =  5s – t_fall <3>

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln <1> und <2> Gleichsetzen.

½ × g × t²_fall = V_schall × t_schall

Und für t_schall <3> einsetzen.

½ × g × t²_fall = V_schall × (5s – t_fall)

=> 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650

Das ist eine quadratische Gleichung mit

a = g/2

b = 330

c = -1650

Eingesetzt in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

x₁= 4,675s

x₂= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für t _fall = 4.675s sein.

Eingesetzt in <1>

h = ½ × g × t²_fall

h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²

h = 107,20 m

Die Brunnentiefe ist also 107,20 m

C: Weg-Zeit-Diagramm

Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

Suchbegriffe

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung