Logarithmus;unendliche Summme bestimmter Logarithmuswerte

Aufgabenstellung

Man zeige: $\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)$

Tipp

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle $N \in \N$ mit $N\ge 2$ gilt: $\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right)$

Lösung 1

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

Induktionsanfang:$N = 2$

Dann gilt:

$\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)$

Damit folgt die Behauptung im Falle $N = 2$

Induktionssvoraussetzung:

Für beliebiges $N\ge 2$ sei die Behauptung wahr.

Induktionsbehauptung:

Dann gilt die Gleichung auch für $N+1$

Induktionsschritt:

$\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)$

$=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)$

Die Behauptung folgt.

Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

$\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)$

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

$\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)$

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

$\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)$

Lösung 2

Die Formel $\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right)$ gilt für $N = 1$ (das leere Produkt ist $1$). Gilt sie für $N-1$, $N\ge 2$, so auch für $N$, denn

$\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right),$

somit gilt sie für alle $N \geq 1$. Wegen der Stetigkeit des Logarithmus folgt

$\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)$.

Suchbegriffe

vollständige Induktion, unendliches Produkt