Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix

Aufgabenstellung

Es sei $A\in K^{n\times n}$ eine invertierbare Matrix über einem Körper $K$. Ferner sei $\lambda$ ein Eigenwert von $A$.

Man zeige: $\lambda\not=0$ und $\lambda^{-1}$ ist Eigenwert von $A^{-1}$.

Tipp

• Man benutze die Definition der Eigenwerte.
• Man interpretiere die Gleichung $x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy}$ für reelle Zahlen $x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ als Gleichung für Matrizen.

Lösung 1

Es sei $\chi_A$ das charakteristische Polynom von $A$ und $E_{n}$ die ($n \times n$)-Einheitsmatrix.

Annahme: $\lambda=0$, dann folgt:

$\chi_A(\lambda)=0$

$\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0$

$\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0$

$\Leftrightarrow\det(A)=0$

$\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)$

$\Leftrightarrow A$ ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist $\lambda\not=0$, insbesondere existiert $\lambda^{-1}\in K$.

Da $\lambda$ Eigenwert von $A$ ist, hat die Gleichung $A(x)=\lambda x;\;x\in K^n$ eine nicht-triviale Lösung $v\in K^n\setminus\{0\}$, d.h. es gilt:

$\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v$

$\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v$ (da $A$ ja invertierbar ist)

$\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)$

$\Leftrightarrow$ die Gleichung $A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x$ hat eine nicht-triviale Lösung $x\in K^n\setminus\{0\}$ (da ja $\lambda\not=0$ und da $v\not=0$)

$\Leftrightarrow$ die Gleichung $(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0$ hat eine nicht-triviale Lösung

$\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\}$

$\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)$

$\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0$

$\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0$

$\Leftrightarrow\lambda^{-1}$ ist Eigenwert von $A^{-1}$.

Lösung 2

Da $\lambda$ Eigenwert von $A$ ist, ist $(A-\lambda )$ nicht invertierbar. Da $A$ invertierbar ist folgt $\lambda\neq0$.

Nun ist $\lambda A(A^{-1}-\lambda ^{-1})=(\lambda -A)$ nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da $\lambda$ und $A$ invertierbar sind, folgt, dass $(A^{-1}-\lambda ^{-1})$ nicht invertierbar ist. Somit ist $\lambda^{-1}$ ein Eigenwert von $A^{-1}$.

Lösung 3

Sei $x$ Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, dann gilt:

$Ax=\lambda x\Leftrightarrow x=\lambda A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} x=A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1}$ ist Eigenwert von $A^{-1}$.

$\lambda\neq0$ folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da $x$ als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.