Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern

Aufgabe[]

Die Orte A und B liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in A und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung B. Zur gleichen Zeit startet Karin in B und fährt mit 17 km/h in Richtung A.

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen A und B?

Tipps ;)[]

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

Lösung:[]

Was ist x[]

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.[]

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

Term aufstellen[]

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei B startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:

$x \cdot 15 {km \over h}$ für Tina

$25 km - (x \cdot 17{km \over h})$ für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

$x \cdot 15 {km \over h} = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})$

Zeit Ausrechnen[]

$x \cdot 15 {km \over h} = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})$ | +17x

$x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h} = 25 km$ | x ausklammern

$x \cdot (15 {km \over h} + 17{km \over h}) = 25 km$ | / 32 km/h

$x = {25km \over (15 {km \over h} + 17{km \over h})}$

$x = {25km \over 32{km \over h}}$

$x = {25 \over 32} h = 0,78125 h = 46,8 Minuten$

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.

Weg Ausrechnen[]

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder $v = {s \over t}$

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit $s = v \cdot t$

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

$s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km$

Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.

Lösung 2[]

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

$y = m \cdot x + c$

m ist darin die Steigung der Geraden und c der Achsenabschnitt auf der y-Achse

Treffpunkt — Die Geradengleichungen als Grafik

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in B, was ja von A 25 km entfernt liegt, startet.

Die Geradengleichung für Tina:

$y = 15 {km \over h} \cdot x + 0$

Die Geradengleichung für Karin:

$y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km$

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für y in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum Gleichsetzungsverfahren)

$15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km$

Ausrechnen[]

$15x = -17x + 25$ | +17x

$32x = 25$ | /32

$x = {25 \over 32}$

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

Suchbegriffe[]

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

Quellen[]

http://profelenafreire.shoutwiki.com/wiki/RECTA_POR_DOS_PUNTOS